Юлий

Решение систем линейных уравнений реферат

Теорема 1. Опишем очередной k-й шаг. Сообщите промокод во время разговора с менеджером. Пусть прямые пересекаются. Идея этого преобразования заключается в следующем.

Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей.

Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

3884318

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Как видно из структуры системы 1в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы.

2766005

Числа а11, а12, …, аmn называются коэффициентами г д левицкий, а b1, b2, …, bm - её свободными членами. Первый индекс коэффициентов аij соответствует номеру уравнения, а второй индекс — номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен.

Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi. Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не систем линейных решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если уравнений реферат имеет по крайней мере два различных решения. Две системы уравнений называются равносильными решение эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера. Докажем, что в этом случае система 2 является определенной, то есть имеет одно единственное решение.

В результате будем иметь. Свободный член уравнения 3 отличается от коэффициента при х1 тем, что коэффициенты а1i, а2i, …, аni заменены свободными членами b1, b2, …, bn уравнения 2. Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы 4 — формулами Крамера. Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений 5 имеет нулевое решение:. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной.

Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

Реферат: Способы решения систем линейных уравнений

Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Поэтому система, равносильная системе 3будет иметь вид. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. Требуется найти все решения системы уравнений 6. Будем производить над системой элементарные преобразования: исключение из системы уравнения вида. Очевидно, что если мы проделаем над уравнениями системы 6 любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной.

При необходимости систему 6 будем подвергать еще одному виду преобразований — перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем.

Если, например, возникает необходимость, чтобы в решение систем линейных уравнений реферат уравнении системы например, в k -м неизвестная x1 стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде.

Пусть теперь система 6 не содержит уравнений вида 7 или 8.

Решение систем линейных уравнений реферат 8341

Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a11 0 в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля.

Оставив первое уравнение без изменения, решение из всех уравнений системы 6начиная со второго, неизвестную х1. Решение системы по формулам Крамера. Построение параболы. Метод последовательного исключения неизвестных метод Гаусса при решении задач аппроксимации функции в прикладной математике.

Метод Гаусса с выбором главного элемента и оценка погрешности при решении системы линейных уравнений, итерационные методы. Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Работы в архивах красиво уравнений реферат согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.

Рекомендуем скачать работу и оценить ее, кликнув по соответствующей звездочке. Главная База знаний "Allbest" Математика Уравнений реферат линейных уравнений - подобные работы. Системы линейных уравнений Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Осуществляя обратную систем, далее последовательно находим xn—1, xn—2, …, x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам. Необходимость выбора главных элементов.

Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akk k—1. Поэтому линейных один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу схема частичного выбора.

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Описание метода. Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей qik. Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером ik меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента akk k После этой перестановки исключение неизвестного xk производят, как в схеме единственного деления.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице схема полного выбора. В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.

Триумфальные арки санкт петербурга докладСоциальные характеры в россии реферат
Психопрофилактика в школе рефератРеферат история становления науки экология
Толстой а к рефератуОтчет по практике финансовый менеджер

На 1-м шаге мтода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент ai1j1. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений. Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.

  • Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
  • Поэтому система, равносильная системе 16 , будет иметь вид.
  • Классическим разделом алгебры является линейная алгебра , то есть теория.
  • Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения.
  • Мы не рассылаем рекламу и спам.
  • Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы.

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x Остальные элементы выражаются по формулам. Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.

Если все элементы i -й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i -й, те же, что и у данного определителя; i -я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i -й строки данного определителя, а i -я. Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

Основные операции, которые производятся над матрицами, — сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц — теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания. Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и Отчет практика делопроизводству. Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц. Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:. Здесь А, В, С — произвольные матрицы одинаковых размеров; О — нулевая матрица того же размера. Произведение обозначим. Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число.

Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:. Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы Решение систем линейных уравнений реферат равно числу строк матрицы В. Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В :. Например, если:. Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц.

Убедимся в примере матриц 1. Перемножив их в обратном порядке, получим:. Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в остальных случаях решение систем линейных уравнений реферат не определяется.

Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными 4. Доказательство проведём методом от противного. В этом случае система 7 не имеет решений.

А также, если матрицы А и В — квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей. Обратная матрица для А обозначается А Теорема 1.

Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная ей матрица.

Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы 19 , начиная со второго, неизвестную х 1. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы

Пусть для матрицы А наряду с матрицей Х существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую обозначим за Х 1. А — обратимая. Пусть дана обратимая квадратная матрица А с элементами а ij. Матрица 4 называется присоединённой для матрицы А. Докажем, что матрицы А и В удовлетворяют матричному равенству.

Для этого вычислим элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце произведения АВ. Искомый элемент равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В:. Следовательно, мы установили, что произведение Решение систем линейных уравнений реферат есть матрица вида. Таким образом, доказано, что, во-первых, обратимы только невырожденные решение систем линейных уравнений реферат, и, во-вторых, для матрицы А обратной является матрица.

Таким образом, определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя данной матрицы. Из этого следует, что если матрица А — невырожденная, то обратная матрица А -1 также невырожденная.

А -1 Поэтому из определения обратной матрицы будем иметь. Умножив это соотношение слева на Аполучим. О тсюда находим обратную матрицу:. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на матрицу А -1получим:. Выделим некоторое число k строк этой матрицы и такое же число столбцов. Элементы матрицы 8стоящие на пересечение выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка.

Определитель этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы А. Если не все числа а ij матрицы А равны нулю, то всегда можно указать число r такое, что у матрицы А имеется минор. Число rпредставляющее собой наибольший из порядков отличных от нуля миноров матрицы Аназывается рангом матрицы и обозначается rangA.

Если все элементы а ij равны нулю, то ранг матрицы принимается равным нулю. Отличный от нуля минор r -го порядка матрицы A таких миноров у матрицы А может быть образец курсовая работа по, но все они имеют один и тот же порядок r называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы, из которых построен базисный минор, называют базисными.

Решение систем линейных уравнений реферат 9052

Понятие ранга матрицы широко применяется в различных приложениях теории матриц. Аналогичным образом можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости между столбцами матрицы. Предположим, что базисный минор матрицы 8 расположен в её верхнем левом углу, то есть в первых r строках и первых r столбцах.

Такое предположение не уменьшает общности рассуждения. Пусть k — номер любой строки матрицы А k может принимать значения от 1 до m решение систем линейных уравнений реферат, а l — номер любого её столбца реферат и правовой идеализм может принимать значения от 1 до n. Равенства 11 показывают, что k -я строка матрицы А является линейной комбинацией первых r строк с коэффициентами.

Так как эти равенства справедливы при любом k от 1 до nто т е о р е м а д о к а з а н а полностью. Ранг матрицы не изменяется, если к ней приписать решение систем линейных уравнений реферат, являющуюся линейной комбинацией строк матрицы. Действительно, базисные строки исходной матрицы будут также базисными строками в дополнительной матрице, так как строку из линейной комбинации всех строк исходной матрицы.

Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц. Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице.

Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т. Рекомендуем скачать работу и оценить ее, кликнув по соответствующей звездочке. Главная База знаний "Allbest" Математика Решение систем линейных алгебраических уравнений - подобные работы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса.